Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ABC vuông tại A, ta được:

B C² = A C² + A B² ⇒ B C² = 15² + 20²

⇔ B C² = 25² ⇔ BC = 25( cm )

Đặt BD = x ⇒ DC = 25 - x

Áp dụng định lý Py 0 ta – go vào hai tam giác vuông AHB và AHC, ta được:

AB2=BH2+HA2AC2=CH2+HA2⇔HA2=152-x2   1HA2=202-25-x2   2

Trừ theo vế các đẳng thức ( 1 ) và ( 2 ) ta được:

152 - x2 - 202 + ( 25 - x )2 = 0 ⇔ 50x = 450 ⇔ x = 9( cm )

Nên HC = 25 - 9 = 16( cm )

Thay x = 9 vào đẳng thức ( 1 ) ta có: H A2 = 152 - 92 = 122 ⇔ HA = 12( cm )

Áp dụng tính chất đường phân giác AD vào tam giác AHB, ta được:

DBDH=ABHA⇒DBDH=54⇒DB5=DH4

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

DB5=DH4=DB+DH5+$=BH9=99=1⇒DH=4cm

Áp dụng tính chất đường chất đường phân giác AE của tam giác ACH, ta được:

ECEH=CAHA⇒ECEH=53⇒EC5=EH3

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

EC5=EH3=EC+EH3+5=CH8=168=2⇒HE=6cm