Đáp án: \(\frac{{\sqrt {57} a}}\)

Phương pháp giải:

- Gọi \(J\) là trung điểm của \(AC\), chứng minh \(d\left( {AB;SI} \right) = d\left( {A;\left( {SIJ} \right)} \right)\).

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH//CM\), trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH{\mkern 1mu} \left( {K \in SH} \right)\), chứng minh \(AK \bot \left( {SIJ} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết:

Gọi \(J\) là trung điểm của \(AC\) ta có \(IJ//AB \Rightarrow AB//\left( {SIJ} \right) \supset SI\)

\( \Rightarrow d\left( {AB;SI} \right) = d\left( {AB;\left( {SIJ} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SIJ} \right)} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), vì \(\Delta ABC\) đều nên \(CM \bot AB \Rightarrow CM \bot IJ\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH//CM \Rightarrow AH \bot IJ\) \(\left( {H \in IJ} \right)\). Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IJ \bot AH}\\{IJ \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow IJ \bot \left( {SAH} \right)\).

Trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH{\mkern 1mu} \left( {K \in SH} \right)\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot SH}\\{AK \bot IJ{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} IJ \bot \left( {SAH} \right)} \right)}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SIJ} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SIJ} \right)} \right) = AK\).

Dễ dàng chứng minh được \(AH = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAH\): \(AK = \frac{{\sqrt {S{H^2} + A{H^2}} }} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {{a^2} + \frac{{3{a^2}}}} }} = \frac{{a\sqrt {57} }}\).

Vậy \(d\left( {AB;SI} \right) = \frac{{a\sqrt {57} }}\).