a) Đặt AOB^=n°.  Khi đó, ta có sđAB⏜=n°.

Ta có công thức tính độ dài cung tròn n° trong đường tròn bán kính R là: l=πRn180.

Do độ dài cung nhỏ AB bằng 5πR6  nên ta có πRn180=5πR6,  suy ra n=180⋅56=150.

Suy ra AOB^=150°  hay sđAB⏜=150°.

Tam giác ACH có AHC^=90°  và AH = CH nên tam giác ACH vuông cân tại H.

Suy ra  BAC^=45°.

Do đó sđBC⏜=2BAC^=2⋅54°=90°.

Vậy điểm C trên cung lớn AB sao cho sđBC⏜=90°  thì AH = CH.

b) Ta có:

⦁ sđACB⏜=360°−sđAB⏜=360°−150°=210°.

⦁sđACB⏜=sđAC⏜+sđCB⏜

Suy ra sđAC⏜=sđACB⏜−sđCB⏜=210°−90°=120°.

Độ dài cung nhỏ AC là: l1=πR⋅120180=2πR3  (đơn vị độ dài).

Độ dài cung nhỏ BC là: l2=πR⋅90180=πR2  (đơn vị độ dài).

c) Xét ∆OAB cân tại O (do OA = OB) nên đường cao OK đồng thời là đường phân giác của tam giác, do đó sđEB⏜=EOB^=12AOB^=12⋅150°=75°.

Diện tích hình quạt tròn EOB là S=πR2⋅75360=5πR224  (đơn vị diện tích).

d) Diện tích hình quạt tròn BOC là S1=πR2⋅90360=πR24  (đơn vị diện tích).

Diện tích hình quạt AOC là S2=πR2⋅120360=πR23  (đơn vị diện tích).

Vậy tỉ số phần trăm giữa diện tích hình quạt tròn BOC và diện tích hình quạt tròn AOC là: S1S2⋅100%=πR24:πR23⋅100%=75%.