Phương trình (1) có hai nghiệm  x1;x2 khi và chỉ khi

Δ≥0⇒m2+2m+22+4m2+m+1≥0 (luôn đúng với mọi m)

Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1;x2

Khi đó, áp dụng định lý Vi-et ta có :

S=x1+x2=m2+2m+2m2+m+1

⇔m2S+mS+S=m2+2m+2⇔S−1m2+S−2m+S−2=0*

Th1: S=1⇒−m+1−2=0⇔m=−1

Th2: S≠1. Khi đó phương trình (*) có :

Δm=S−22−4S−1S−2=S2−4S+4−4S2−3S+2=−3S2+8S−4

Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=x1+x2 thì phương trình (*) phải có nghiệm

Khi đó ta có : Δm≥0⇔−3S2+8S−4≥0

⇔−3S2+6S+2S−4≥0⇔−3SS−2+2S−2≥0⇔S−2−3S+2≥0⇔S−2≥0−3S+2≥0S−2≤0−3S+2≤0⇔S≥2S≤23⇒S∈∅S≤2S≥23⇔23≤S≤2

Do đó GTNN của biểu thức S=x1+x2 bằng 23 và GTLN của biểu thức S=x1+x2 bằng 2.

Với S =23 ta có :

m2+2m+2m2+m+1=23⇔3m2+2m+2=2m2+m+1⇔m2+4m+4=0⇔m+22=0⇔m=−2(tm)

Với S = 2 ta có :

m2+2m+2m2+m+1=2⇒m2+2m+2=2m2+2m+2⇔m2=0⇔m=0(tm)

Vậy GTNN của S=x1+x2 bằng 23 đạt được khi m = -2    

Và GTLN của biểu thức S=x1+x2bằng  2 đạt được khi m = 0