Để tìm nghiệm nguyên của các phương trình đã cho, ta có thể áp dụng phương pháp giải phương trình bậc hai dạng \( ax + by = c \).

### a) 5x + 3y = 2

Đầu tiên, kiểm tra xem phương trình này có nghiệm nguyên hay không.

Tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 5 và 3:
- ƯCLN(5, 3) = 1

Vì 1 chia hết cho 2, phương trình này có nghiệm.

Để tìm nghiệm nguyên, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid mở rộng.

1. Sử dụng thuật toán Euclid để tìm một cặp (x₀, y₀) sao cho \( 5x₀ + 3y₀ = 1 \).
2. Áp dụng kết quả để tìm nghiệm tổng quát cho dạng \( 5x + 3y = 2 \).

Từ \( 5(-1) + 3(2) = 1 \), ta có một nghiệm đặc biệt là (x₀, y₀) = (-1, 2).

Để tìm nghiệm của phương trình \( 5x + 3y = 2 \), ta nhân nghiệm này với 2:
\[
x = -1 \cdot 2 = -2, \quad y = 2 \cdot 2 = 4
\]
Vậy một nghiệm nguyên của phương trình là \( x = -2, y = 4 \).

Nghiệm tổng quát có dạng:
\[
x = -2 + 3k, \quad y = 4 - 5k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

### b) 38x + 117y = 15

Tính ƯCLN(38, 117) qua thuật toán Euclid:
- 117 = 3 * 38 + 3
- 38 = 12 * 3 + 2
- 3 = 1 * 2 + 1
- 2 = 2 * 1 + 0

Vì ƯCLN(38, 117) = 1 và 1 chia hết cho 15, nên phương trình có nghiệm.

Giải phương trình \( 38x + 117y = 1 \) để tìm ra nghiệm nguyên.
Sử dụng thuật toán Euclid mở rộng:
- Từ trên, ta có:
\[
1 = 3 - 1 \cdot 2
\]
Thay \( 2 = 38 - 12 \cdot 3 \):
\[
1 = 3 - (38 - 12 \cdot 3) = 13 \cdot 3 - 1 \cdot 38
\]
Thay \( 3 = 117 - 3 \cdot 38 \):
\[
1 = 13 \cdot (117 - 3 \cdot 38) - 1 \cdot 38
\]
\[
1 = 13 \cdot 117 - 40 \cdot 38
\]

Nghiệm nguyên đặc biệt của \( 38x + 117y = 1 \) là \( x = -40, y = 13 \).

Nhân với 15 để có nghiệm cho phương trình ban đầu:
\[
x = -40 \cdot 15 = -600, \quad y = 13 \cdot 15 = 195
\]
Vậy một nghiệm nguyên của phương trình là \( x = -600, y = 195 \).

Nghiệm tổng quát có dạng:
\[
x = -600 + 117k, \quad y = 195 - 38k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

### c) 21x - 18y = 4

Tính ƯCLN(21, 18):
- 21 = 1 * 18 + 3
- 18 = 6 * 3 + 0

ƯCLN(21, 18) = 3 và 3 chia hết cho 4, nên phương trình sẽ không có nghiệm nguyên.

Tóm lại:
- a) Nghiệm tổng quát: \( x = -2 + 3k, y = 4 - 5k \)
- b) Nghiệm tổng quát: \( x = -600 + 117k, y = 195 - 38k \)
- c) Không có nghiệm nguyên.