Để tìm giá trị của \( \sin a \) khi \( \sin 2a = \frac{2}{3} \), chúng ta có thể sử dụng công thức:

\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a
\]

Do đó, ta có:

\[
2 \sin a \cos a = \frac{2}{3}
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
\sin a \cos a = \frac{1}{3}
\]

Theo công thức \( \sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2a \), điều này có thể viết lại như:

\[
\frac{1}{2} \sin 2a = \frac{1}{3}
\]

Nhưng ở đây, chúng ta vẫn giữ lại biểu thức \( \sin a \cos a = \frac{1}{3} \).

Chúng ta biết rằng \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \). Gọi \( \sin a = x \), ta có \( \cos a = \sqrt{1 - x^2} \).

Thay vào phương trình:

\[
x \sqrt{1 - x^2} = \frac{1}{3}
\]

Bình phương hai vế:

\[
x^2 (1 - x^2) = \frac{1}{9}
\]

\[
x^2 - x^4 = \frac{1}{9}
\]

\[
9x^2 - 9x^4 = 1
\]

\[
9x^4 - 9x^2 + 1 = 0
\]

Gọi \( u = x^2 \), ta có phương trình bậc 2:

\[
9u^2 - 9u + 1 = 0
\]

Tính delta:

\[
\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 81 - 36 = 45
\]

Giải phương trình bậc 2:

\[
u = \frac{9 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 9} = \frac{9 \pm 3\sqrt{5}}{18} = \frac{1 \pm \frac{\sqrt{5}}{3}}{2}
\]

Như vậy, ta có hai giá trị cho \( u = \sin^2 a \):

\[
u_1 = \frac{1 + \frac{\sqrt{5}}{3}}{2}, \quad u_2 = \frac{1 - \frac{\sqrt{5}}{3}}{2}
\]

Sau khi có cả hai giá trị \( \sin^2 a \), ta có thể tìm \( \sin a \) bằng cách lấy căn bậc hai của cả hai giá trị.

So với giá trị \( \sin a \):

- \( \sin a = \sqrt{u_1} \) hoặc \( \sin a = \sqrt{u_2} \) (có thể là \( -\sqrt{u_1} \) hoặc \( -\sqrt{u_2} \) tùy thuộc vào góc a nằm ở phần nào của chu kỳ).

Cuối cùng, bạn chỉ cần tính giá trị cụ thể của \( \sin a \) với các giá trị đã tính được.