a) Vì DABC vuông tại A nên BAC^=90o.

Mà AH là đường cao DABC hay AH ^ BC nên AHB^=90o.

Do đó BAC^ = AHB^.

Xét DABC và DHBA có:

BAC^ = AHB^(cmt)

B^ là góc chung.

Do đó DABC ∽ DHBA (g.g)

Suy ra ABHB = ACAH

b) Xét DAHB vuông tại H, ta có:

AB² = AH² + HB² (định lý Py-ta-go)

=> AH² = AB² − HB² = 25 − 9 = 16

=> AH = 4 (cm).

Vì BI là tia phân giác của ABC^

=> IAIH = ABBH (tính chất đường phân giác trong tam giác)

=> AH−HIIH= ABBH = 53

<=> AHIH− 1 = 53

<=> 4IH=83

=> IH = 128 = 1,5 (cm)

Ta có: AI = AH − IH = 4 − 1,5 = 2,5 (cm)

c) Xét DABH và DCAH có:

AHB^=AHC^=90o

ABH^=CAH^ (cùng phụ BAH^)

Do đó DABH  DCAH (g.g)

Suy ra AHBH=HCAH.

Suy ra AH² = BH. HC

<=>16 = 3. HC

=> HC = 163

=> BC = 163 + 3 = 253 (cm)

+ AC² = BC² − AB²

=> AC² = 2532− 5² = 4009

=> AC = 203 (cm).

Xét DHAC có AK là tia phân giác của HAC^ nên:

KHKC = AHAC = 35

Mà HIIA = 1,52,5 = 35

Suy ra HIIA = KHKC