Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Lời giải
Ta có: \(B{E^2} = {\overrightarrow {BE} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} } \right)^2}\)
\( = {\overrightarrow {AE} ^2} - 2.\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} + {\overrightarrow {AB} ^2}\)
\( = A{E^2} + A{B^2} - 2.AE.AB.cos\widehat {EAB}\)
\[ = A{D^2} + A{C^2} - 2.AD.AC.cos\widehat {CAD}\]
\( = {\overrightarrow {AD} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} - 2\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} \)
\( = {\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)^2}\)
\( = {\overrightarrow {CD} ^2} = C{D^2}\)
BE = CD(1)
Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD
Nên MN là đường trung bình của ∆BCD
\( \Rightarrow MN = \frac{1}{2}CD\) và MN // CD(2)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
MP là đường trung bình của ∆BCE
\( \Rightarrow MP = \frac{1}{2}BE\) và MP // BE(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = MP.
Vì BE ⊥ CD (câu b), MN // CD và MP // BE
Nên MN ⊥ MP
\( \Rightarrow \widehat {NMP} = 90^\circ \)
Tam giác MNP có MN = MP và \(\widehat {NMP} = 90^\circ \)
Suy ra tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |