Tung con xúc xắc cân đối liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:
A: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất”;
B: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”;
C: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7”.
Chứng minh rằng:
a) Hai biến cố A và B độc lập;
b) Hai biến cố B và C độc lập.
c) Hai biến cố A và C độc lập.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
a) Ta có:
Các phần tử của biến cố A: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất” là:
A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6)};
Các phần tử của biến cố B: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”;
B = {(1; 2); (2; 2); (3; 2); (4; 2); (5; 2); (6; 2)}.
Có A ∩ B = {(1; 2)}.
Do đó, P(A) = \(\frac{6} = \frac{1}{6}\); P(B) = \(\frac{6} = \frac{1}{6}\); P(AB) = \(\frac{1}\).
Nhận thấy \(\frac{1}\) = \(\frac{1}{6}.\frac{1}{6}\) hay P(AB) = P(A).P(B).
Ta có: P(A | B) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}:\frac{1}{6} = \frac{1}{6}\) = P(A);
P(B | A) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{1}:\frac{1}{6} = \frac{1}{6}\) = P(B).
Vậy P(A | B) = P(A), P(B | A) = P(B).
Vậy hai biến cố A và B độc lập.
b) Các phần tử của biến cố C: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7” là:
C = {(1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1)};
Có B ∩ C = {(5; 2)}.
Ta có: P(C) = \(\frac{6} = \frac{1}{6}\), P(BC) = \(\frac{1}\).
Suy ra P(BC) = P(C).P(B).
Nhận thấy: P(B | C) = \(\frac{{P\left( {BC} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{1}:\frac{1}{6} = \frac{1}{6}\) = P(B);
P(C | A) = \(\frac{{P\left( {BC} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{1}:\frac{1}{6} = \frac{1}{6}\) = P(C).
Vậy P(B | C) = P(B), P(C | A) = P(C).
Vậy hai biến cố C và B độc lập.
c) Ta có: A ∩ C = {(1; 6)} nên P(AC) = \(\frac{1}{6}\).
Ta có: P(AC) = P(C).P(A).
Tương tự ý a, b ta suy ra A và C là hai biến cố độc lập.
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |