Để tìm giá trị của \( n \) trong \( A = \frac{10n + 3}{2n + 1} \) sao cho \( A \in \mathbb{Z} \) (tức là \( A \) là một số nguyên), chúng ta cần đảm bảo rằng \( 2n + 1 \) chia hết cho \( 10n + 3 \).

Điều này có thể được thực hiện bằng cách viết lại biểu thức dưới dạng:

\[
A = \frac{10n + 3}{2n + 1}
\]

Ta có thể thực hiện phép chia long division để xem nó có thể viết dưới dạng số nguyên hay không.

**Bước 1: Thực hiện phép chia**

Ta thực hiện phép chia \( 10n + 3 \) cho \( 2n + 1 \):

- Chia \( 10n \) cho \( 2n \) được \( 5 \).
- Nhân \( 5(2n + 1) = 10n + 5 \).
- Trừ đi: \( (10n + 3) - (10n + 5) = 3 - 5 = -2 \).

Vậy ta có:

\[
A = 5 - \frac{2}{2n + 1}
\]

**Bước 2: Đảm bảo \( A \) nguyên**

Để \( A \) là số nguyên, \( \frac{2}{2n + 1} \) phải là một số nguyên, tức là \( 2n + 1 \) phải chia hết cho \( 2 \).

**Bước 3: Phân tích \( 2n + 1 \)**

Rõ ràng rằng \( 2n + 1 \) luôn là số lẻ (bất kỳ một số nguyên \( n \) nào cũng tạo ra một số lẻ từ biểu thức này). Để \( \frac{2}{2n + 1} \) là số nguyên, \( 2n + 1 \) phải là một ước của số \( 2 \).

Các ước của \( 2 \): \( \pm 1, \pm 2 \).

- Nếu \( 2n + 1 = 1 \): \( 2n = 0 \) ⇒ \( n = 0 \).
- Nếu \( 2n + 1 = -1 \): \( 2n = -2 \) ⇒ \( n = -1 \).
- Nếu \( 2n + 1 = 2 \): \( 2n = 1 \) (không có giá trị nguyên).
- Nếu \( 2n + 1 = -2 \): \( 2n = -3 \) (không có giá trị nguyên).

**Bước 4: Kiểm tra kết quả**

- Với \( n = 0 \):
\[
A = \frac{10(0) + 3}{2(0) + 1} = \frac{3}{1} = 3 \in \mathbb{Z}.
\]

- Với \( n = -1 \):
\[
A = \frac{10(-1) + 3}{2(-1) + 1} = \frac{-10 + 3}{-2 + 1} = \frac{-7}{-1} = 7 \in \mathbb{Z}.
\]

**Kết luận:**

Các giá trị của \( n \) thuộc \( \mathbb{Z} \) để \( A \in \mathbb{Z} \) là:

\[
\boxed{0 \text{ và } -1}
\]