1) ⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}.\)

Ta có bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

\(x\)	\[--2\]	\[--1\]	\[0\]	\[1\]	\[2\]
\(y =  - 2{x^2}\)	\( - 8\)	\( - 2\)	\[0\]	\( - 2\)	\( - 8\)

Vẽ các điểm \(\left( { - 2; - 8} \right),\) \(\left( { - 1; - 2} \right),\) \(\left( {0;0} \right),\) \(\left( {1; - 2} \right),\) \(\left( {2; - 8} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số \(y =  - 2{x^2}\) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\)

Vẽ đường parabol đi qua năm điểm trên, ta nhận được đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}\) (hình vẽ).

⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y =  - 2x - 4.\)

Cho \(x = 0\) ta có \(y =  - 4.\) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0; - 4} \right).\)

Đồ thị của hàm số \(y =  - 2{x^2}\) và \(y =  - 2x - 4\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

Cho \(y = 0\) ta có \(x =  - 2.\) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(B\left( { - 2;0} \right).\)

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0; - 4} \right)\) và \(B\left( { - 2;0} \right)\) ta được đồ thị hàm số \(y =  - 2x - 4\) (hình vẽ).

2) ⦁ Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị hàm số \(y =  - 2x - 4\) và \(y =  - 2{x^2},\) khi đó ta có:    \({y_0} =  - 2{x_0} - 4\) và \({y_0} =  - 2x_0^2.\)

Suy ra \( - 2{x_0} - 4 =  - 2x_0^2\) hay \(x_0^2 - {x_0} - 2 = 0.\)

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình \(x_0^2 - {x_0} - 2 = 0.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm là \({x_0} =  - 1\) và \({x_0} = 2.\)

Với \({x_0} =  - 1,\) ta có \({y_0} =  - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 =  - 2;\)

Với \({x_0} = 2,\) ta có \({y_0} =  - 2 \cdot 2 - 4 =  - 8.\)

Vậy tọa độ giao điểm \(C,\,\,D\) của hai đồ thị là: \(C\left( { - 1; - 2} \right)\) và \(D\left( {2; - 8} \right),\) hoặc \(C\left( {2; - 8} \right)\) và \(D\left( { - 1; - 2} \right).\)

⦁ Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(CD\) chính là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(y =  - 2x - 4.\)

Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(O\) xuống đường thẳng \[CD,\] ta có \(OH \bot CD.\)

Ta có \(A\left( {0; - 4} \right),\,\,B\left( { - 2;0} \right)\) suy ra \(OA = 4,\,\,OB = 2.\)

Xét \(\Delta OAB\) vuông tại \(O,\) có:

⦁ \(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2}\) (định lí Pythagore)

Suy ra \(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt {{4^2} + {2^2}}  = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 .\)

⦁ \(\sin \widehat {OBA} = \frac.\)

Xét \(\Delta OBH\) vuông tại \(H,\) có: \(\sin \widehat {OBH} = \frac.\)

Suy ra \(\frac = \frac,\) do đó \(OH = \frac = \frac{{2\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}.\)

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(CD\) bằng \(\frac{{4\sqrt 5 }}{5}.\)