1) Xét phương trình \({x^2} + 6x + 5 = 0\)

Phương trình trên có \(a - b + c = 1 - 6 + 5 = 0\) nên phương trình này có hai nghiệm là \({x_1} =  - 1;\,\,{x_2} =  - 5.\)

Vậy phương trình có nghiệm là \({x_1} =  - 1;\,\,{x_2} =  - 5.\)

2) Xét phương trình \({x^2} - x + 4m + 2 = 0\)

Phương trình trên có \(\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot \left( {4m + 2} \right) = 1 - 16m - 8 =  - 16m - 7.\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta  > 0,\) tức là \( - 16m - 7 > 0,\) suy ra \(m < \frac{{ - 7}}.\)

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = 4m + 2\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo bài, \({x_1}^2 - 4{x_1}{x_2} + 3{x_2}^2 = 5\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\)

\({x_1}^2 - {x_1}{x_2} - 3{x_1}{x_2} + 3{x_2}^2 = 5\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\)

\({x_1}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - 3{x_2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - 5\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 0\)

\(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - 3{x_2} - 5} \right) = 0\)

 \({x_1} = {x_2}\) (loại do \({x_1} \ne {x_2})\) hoặc \({x_1} - 3{x_2} = 5.\)

Từ \({x_1} - 3{x_2} = 5,\) suy ra \({x_1} = 3{x_2} + 5,\) thay vào \(\left( 1 \right),\) ta được:

\(3{x_2} + 5 + {x_2} = 1,\) suy ra \(4{x_2} =  - 4,\) nên \({x_2} =  - 1.\)

Thay \({x_2} =  - 1\) vào \({x_1} = 3{x_2} + 5,\) ta được: \[{x_1} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 5 = 2.\]

Thay \({x_1} = 2,\,\,{x_2} =  - 1\) vào \(\left( 2 \right),\) ta được:

\(2 \cdot \left( { - 1} \right) = 4m + 2,\) suy ra \(m =  - 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy \(m =  - 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.