Ta có: 2cos 3x(2cos 2x + 1) = 1

Û 4cos 3x.cos 2x + 2cos 3x = 1

Û 2(cos 5x + cos x) + 2cos 3x = 1

Û 2cos 5x + 2cos x + 2cos 3x = 1 (*)

Ta nhận thấy x = kp không phải nghiệm của phương trình đã cho.

Ta có: (*) Û 2sin x(cos x + cos 3x + cos 5x) = sin x

Û 2sin x.cos x + 2sin x.cos 3x + 2sin x.cos 5x = sin x

Û sin 2x + sin 4x − sin 2x + sin 6x − sin 4x = sin x

Û sin 6x = sin x

⇔6x=x+k2π6x=π−x+k2π⇔x=k2π5x=π7+k2π7

Xét trên chu kì từ [0; 2p] ta có các nghiệm (loại đi nghiệm x = kp)

 x∈2π5; 4π5; 6π5; 8π5; π7; 3π7; 5π7; 9π7; 11π7; 13π7

Tổng các nghiệm này trên đoạn [0; 2π] bằng 10p.

Do đó tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn [−4π; 6π] là:

5.10p + (−2 − 1 + 0 + 1 + 2).2p = 50p.