Điều kiện cần

Ta có f1=13;limx→1+fx=limx→1+x33=13  và limx→1−fx=limx→1−ax+b=a+b.

Để hàm số fx   có đạo hàm tại x=1   thì fx  liên tục tại x=1 .

Do đó limx→1+fx=limx→1−fx=f1⇔a+b=13.

Điều kiện đủ: f'1+=limx→1+fx−f1x−1=limx→1+x33−13x−1=limx→1+x2+x+13=1.

f'1−=limx→1−fx−f1x−1=limx→1+fx−f1x−1=limx→1−ax+b−a+bx−1=limx→1+ax−ax−1=a.

Để hàm số fx   có đạo hàm tại x=1  thì f'1+=f'1−⇔a=1⇒b=−23.