Để giải phương trình \( 2|3x - 1| + 1 = 5 \), trước tiên, chúng ta có thể đơn giản hóa phương trình này.

Bắt đầu với việc trừ 1 từ cả hai phía để giảm phương trình:

\[
2|3x - 1| = 4
\]

Sau đó, chia cả hai phía cho 2:

\[
|3x - 1| = 2
\]

Bây giờ, chúng ta có hai trường hợp để giải cho giá trị tuyệt đối:

**Trường hợp 1:**
\[
3x - 1 = 2
\]
Giải phương trình:
\[
3x = 3 \implies x = 1
\]

**Trường hợp 2:**
\[
3x - 1 = -2
\]
Giải phương trình:
\[
3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}
\]

Vậy chúng ta có hai giá trị cho \( x \):

\[
x = 1 \quad \text{và} \quad x = -\frac{1}{3}
\]

Cuối cùng, đáp án là \( x = 1 \) và \( x = -\frac{1}{3} \).