Phương pháp:

M=116x2+14y2+1z2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:116x2+4916x2≥2116.4916=141614y2+4916y2≥214.4916=741z2+4916z2≥21.4916=72

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

116x2+4916x2+14y2+4916y2+1z2+4916z2≥1416+74+72⇔116x2+14y2+1z2+4916x2+y2+z2≥498⇔M+4916≥498⇔M≥4916.

Dấu “=” xảy ra .⇔x2+y2+z2=114x=7x412y=7y41z=7z4⇔x2+y2+z2=17x2=17y2=27z2=4⇔x=77y=147z=277

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 4916 khi x; y; z=77;147;277  .