Phương trình có hai nghiệm là \(x =  - 1\) và \(x = 1\), thay vào phương trình ta được hệ

 \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + a - b + c = 0\\1 + a + b + c = 0\end{array} \right.\)

Trừ hai phương trình trên, ta được: \( - 2 - 2b = 0 \Leftrightarrow b =  - 1\)

Cộng hai phương trình trên, ta được: \(a + c = 0 \Leftrightarrow c =  - a\)

Phương trình trở thành: \[{x^3} + a{x^2} - x - a = 0\]

\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + a} \right) - \left( {x + a} \right) \Leftrightarrow \left( {x + a} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\)

Theo giải thiết, phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\), khi đó phương trình \(x + a = 0\) phải có nghiệm là \( - 1\) hoặc 1, suy ra. \(a = 1\) hoặc \(a =  - 1\).

Vậy các số a; b; c cần tìm là \(a = 1;b =  - 1;c =  - 1\) hoặc \(a =  - 1;b =  - 1;c = 1\).