Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là r. Suy ra, chiều cao của thùng hình trụ là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}}\).

Diện tích bề mặt của thùng hình trụ là S = 2πr² + \(\frac{{2\pi rV}}{{\pi {r^2}}}\) = 2πr² + \(\frac{r}\), r > 0.

Ta có: S' = 2πr² – \(\frac{{{r^2}}}\) = \(\frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}}\)

           S' = 0 ⇔ r = \(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên: S đạt giá trị nhỏ nhất khi r = \(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\), khi đó chiều cao của hình trụ là

2.\(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) = 2r.

Đây là điều cần chứng minh.