Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH (H thuộc BC ). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=AH. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ làm từng bước một.

### a) Chứng minh tứ giác HDEI là hình chữ nhật

Ta nhận thấy:
- **H** là chân đường cao từ **A** xuống **BC**.
- **D** là điểm trên tia **HC** sao cho **HD = AH**.

Mệnh đề **AH ⊥ BC** nên **HA** vuông góc với **BC**. Còn đường thẳng **EI** được kẻ vuông góc với **AH**, theo đó ta có:

- **HE ⊥ DE** (vì DE nằm trên đường thẳng BC tại D).
- **EI ⊥ AH**.

Từ đó, ta có thể suy ra rằng hai cạnh **HE** và **EI** vuông góc với **HD** và **DE**, do đó tứ giác **HDEI** là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh AE = AB

Xét tam giác vuông **ABC** tại **A**, theo định nghĩa đường cao và tính chất đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}
\]

Và khi kéo dài đoạn thẳng AE theo phương vuông góc với BC tại D, chúng ta đã tạo ra tam giác vuông ABE với diện tích tính như sau:

\[
\text{Diện tích tam giác ABE} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AE = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot AH
\]

Vì B và E cách nhau 1 đoạn gấp đôi DH, nên ta có: AE = AB.

### c) Chứng minh GB \cdot AC = GC \cdot AE

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác **ABE** với đường thẳng **GC**, ta có:

- Tỉ số: \(\frac{GB}{GC} = \frac{AB}{AE}\)

Khóa giá trị \(\frac{AB}{AE} = 1\) (từ chứng minh trước). Do đó, ta có:

\[
GB \cdot AC = GC \cdot AE.
\]

Kết luận, ta đã chứng minh xong các phần trong bài toán này.