Để so sánh các biểu thức trong từng trường hợp, ta sẽ sử dụng các tính chất của số mũ và số học.

### a) So sánh \(8 \cdot 2^{10}\) và \(2 \cdot 2^{13}\)

Chuyển đổi \(8\) thành \(2^3\):
\[
8 \cdot 2^{10} = 2^3 \cdot 2^{10} = 2^{3 + 10} = 2^{13}
\]
Biểu thức thứ hai:
\[
2 \cdot 2^{13} = 2^1 \cdot 2^{13} = 2^{1 + 13} = 2^{14}
\]
So sánh:
\[
2^{13} < 2^{14} \Rightarrow 8 \cdot 2^{10} < 2 \cdot 2^{13}
\]

### b) So sánh \(7^3 \cdot 7^8\) và \(\frac{7^{20}}{7^6}\)

Biểu thức bên trái:
\[
7^3 \cdot 7^8 = 7^{3 + 8} = 7^{11}
\]
Biểu thức bên phải:
\[
\frac{7^{20}}{7^6} = 7^{20 - 6} = 7^{14}
\]
So sánh:
\[
7^{11} < 7^{14} \Rightarrow 7^3 \cdot 7^8 < \frac{7^{20}}{7^6}
\]

### c) So sánh \(9^{15}\) và \(27^{10}\)

Thay đổi cơ số:
\[
9 = 3^2 \quad \text{và} \quad 27 = 3^3
\]
Biểu thức bên trái:
\[
9^{15} = (3^2)^{15} = 3^{30}
\]
Biểu thức bên phải:
\[
27^{10} = (3^3)^{10} = 3^{30}
\]
So sánh:
\[
3^{30} = 3^{30} \Rightarrow 9^{15} = 27^{10}
\]

### d) So sánh \(2^{333}\) và \(3^{222}\)

Sử dụng logarithm để so sánh:
\[
\log(2^{333}) = 333 \log(2) \quad \text{và} \quad \log(3^{222}) = 222 \log(3)
\]
Xét tỉ số:
\[
\frac{333 \log(2)}{222 \log(3)} = \frac{333}{222} \cdot \frac{\log(2)}{\log(3)} \approx 1.5 \cdot 0.6309 \approx 0.945
\]
Do đó,
\[
333 \log(2) < 222 \log(3) \Rightarrow 2^{333} < 3^{222}
\]

### Kết luận:
- a) \(8 \cdot 2^{10} < 2 \cdot 2^{13}\)
- b) \(7^3 \cdot 7^8 < \frac{7^{20}}{7^6}\)
- c) \(9^{15} = 27^{10}\)
- d) \(2^{333} < 3^{222}\)