Để tìm chữ số tận cùng của \( A = 7^1 + 7^2 + 7^3 + \ldots + 7^{2021} \), ta cần xác định chữ số tận cùng của mỗi số hạng trong chuỗi và sau đó tính tổng phù hợp.

1. **Tìm chữ số tận cùng của \( 7^n \)**:
- Chữ số tận cùng có tính chu kỳ theo \( n \):
- \( 7^1 = 7 \) (chữ số tận cùng là 7)
- \( 7^2 = 49 \) (chữ số tận cùng là 9)
- \( 7^3 = 343 \) (chữ số tận cùng là 3)
- \( 7^4 = 2401 \) (chữ số tận cùng là 1)
- \( 7^5 = 16807 \) (chữ số tận cùng là 7)
- ...

Từ những ví dụ trên, ta thấy rằng chữ số tận cùng của \( 7^n \) có chu kỳ lặp lại mỗi 4 số:
- \( 7, 9, 3, 1 \)

2. **Phân tích chu kỳ**:
- Chu kỳ 4: \( 7, 9, 3, 1 \)
- Với \( 2021 \div 4 = 505\) dư \( 1 \), tức là trong 2021 số hạng ta có 505 chu kỳ đầy đủ và thêm 1 số hạng.
- Số hạng cuối cùng (tận cùng) là \( 7^1 \).

3. **Tính chữ số tận cùng**:
- Mỗi chu kỳ (4 hạng) có tổng là:
\[
7 + 9 + 3 + 1 = 20 \quad \text{(chữ số tận cùng là 0)}
\]
- Với 505 chu kỳ, tổng chữ số tận cùng của các chu kỳ là \( 505 \times 20 \). Chữ số tận cùng của \( 20 \) là 0.

4. **Thêm phần dư** (số hạng tận cùng):
- Chữ số tận cùng của phần dư là \( 7^1 = 7 \).

Cuối cùng, ta tính tổng chữ số tận cùng:
\[
0 + 7 = 7
\]

Vậy chữ số tận cùng của \( A \) là \( \boxed{7} \).