Để tính tổng \( S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^5} + \ldots + \frac{1}{2^{99}} \), trước tiên ta nhận thấy rằng chuỗi này chỉ chứa các số mũ lẻ của \( \frac{1}{2} \).

Chúng ta có thể viết tổng này ra thành một tổng hình học với các số hạng là các số mũ lẻ từ 1 đến 99. Các số hạng trong tổng có thể được viết lại như sau:

\[
S = \sum_{n=0}^{49} \frac{1}{2^{2n+1}}
\]

Tổng này có thể được tính theo công thức tổng của một dãy số hình học. Công thức tổng của dãy số hình học với bậc \( n \) là:

\[
\text{Tổng} = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong đó \( a \) là số hạng đầu tiên, \( r \) là công bội, và \( n \) là số hạng cuối cùng. Kích thích về tổng hình học ở đây là:

- Số hạng đầu tiên \( a = \frac{1}{2} \)
- Công bội \( r = \frac{1}{4} \) (vì sau mỗi số hạng tiếp theo, chỉ số mũ tăng thêm 2, tức là \( \left(\frac{1}{2^2}\right) \))
- Số hạng cuối cùng là 50 (từ \( n = 0 \) đến \( n = 49 \) có 50 số hạng)

Áp dụng vào công thức tổng hình học với \( n = 50 \):

\[
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{50}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{1}{4^{50}}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \left(1 - \frac{1}{4^{50}}\right)
\]

Thực hiện các phép tính:

\[
S = \frac{2}{3} \left(1 - \frac{1}{4^{50}}\right)
\]

Do \( \frac{1}{4^{50}} \) là một số rất nhỏ, gần như bằng 0, nên ta có thể bỏ qua phần đó cho các tính toán gần đúng trong thực tế. Tuy nhiên, nếu cần tính chính xác hơn:

\[
S \approx \frac{2}{3}
\]

Vậy tổng \( S \) gần đúng bằng:

\[
S \approx \frac{2}{3}
\]