Để giải quyết bài toán về tam giác cân \( ABC \) với các điểm \( H \), \( K \), và các đoạn cao, ta sẽ tiến hành từng phần theo yêu cầu.

### Phần a: Chứng minh rằng đường tròn tâm O đường kính BC đi qua K và H.

1. **Xét tam giác cân và các đường cao**: Trong tam giác \( ABC \), vì \( AB = AC \), nên đường cao \( BH \) cũng đồng thời là đường trung tuyến từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).
2. **Giả sử O là trung điểm của đoạn thẳng BC**: Ta có \( O \) là trung điểm của \( BC \), và khi kẻ đường tròn với đường kính \( BC \), điểm \( H \) (giao điểm của đường cao \( BH \) với cạnh \( BC \)) sẽ nằm trên đường tròn này (theo định lý Thales).
3. **Điểm K**: Tương tự, \( K \) là giao điểm của đường cao \( CK \) với cạnh \( AB \). Do đó, điểm \( K \) cũng nằm trên đường tròn có đường kính \( BC \) khi xếp \( \triangle ABC \) trong mặt phẳng.
4. **Kết luận**: Suy ra, cả điểm \( K \) và điểm \( H \) đều nằm trên đường tròn có đường kính là cạnh \( BC \).

### Phần b: Chứng minh HK nhỏ hơn BC

1. **Xét các đoạn thẳng**: Vì \( BH \) là một đường cao trong tam giác, nên \( AH < AB \). Do đó, ta có \( AH < AC \).
2. **Dùng định lý trong tam giác**: Đây là một số tính chất trong tam giác vuông. Nó cho thấy rằng \( HK \) là đoạn thẳng nối liền hai chân đường cao nên sẽ nhỏ hơn cạnh \( BC \) (hoặc \( AB \) và \( AC \)).
3. **Kết luận**: Suy ra \( HK < BC \) từ tính chất của đoạn cao trong tam giác.

### Phần c: Chứng minh cung BK và cung CH bằng nhau

1. **Cung ở trên đường tròn**: Bởi vì điểm \( K \) và điểm \( H \) đều nằm trên đường tròn với đường kính là cạnh \( BC \) và điểm \( O \) là tâm của đường tròn.
2. **Cung bằng nhau**: Cung \( BK \) sẽ tương ứng với cung \( CH \) vì \( K \) và \( H \) đều nằm lên trên cùng một đường tròn và tạo ra các số cung cùng bậc (điểm \( B \) và điểm \( C \)).
3. **Kết luận**: Do đó, ta có \( \text{số cung } BK = \text{số cung } CH \), tức là \( BK = CH \).

Suy ra, bài toán đã chứng minh đầy đủ các yêu cầu được đề ra.