Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho

Để giải bài toán này, ta sẽ xem xét từng trường hợp một.

### a) \( \frac{n+1}{n+4} \) là bình phương của một số hữu tỉ

Gọi \( \frac{n+1}{n+4} = k^2 \) với \( k \) là số hữu tỉ. Ta có:

\[
n + 1 = k^2(n + 4)
\]

Phát triển phương trình:

\[
n + 1 = k^2n + 4k^2
\]

Sắp xếp lại:

\[
n - k^2n = 4k^2 - 1
\]

\[
n(1 - k^2) = 4k^2 - 1
\]

Nếu \( 1 - k^2 \neq 0 \) (tức là \( k \neq 1 \)), ta có:

\[
n = \frac{4k^2 - 1}{1 - k^2}
\]

Để \( n \) là số tự nhiên, \( 4k^2 - 1 \) và \( 1 - k^2 \) phải có cùng dấu. Cụ thể, \( 4k^2 - 1 \geq 0 \) và \( 1 - k^2 > 0 \) dẫn đến:

- \( k^2 \geq \frac{1}{4} \rightarrow k \geq \frac{1}{2} \) (hoặc \( k \leq -\frac{1}{2} \))
- \( k^2 < 1 \rightarrow -1 < k < 1 \)

Như vậy, \( k \) nằm trong khoảng \( \frac{1}{2} \leq k < 1 \). Từ đó, ta thay k vào để kiểm tra các giá trị.

### b) \( \frac{n+3}{4n+5} \) là bình phương của một số hữu tỉ

Gọi \( \frac{n+3}{4n+5} = m^2 \) với \( m \) là số hữu tỉ. Tương tự, ta có:

\[
n + 3 = m^2(4n + 5)
\]

Phát triển phương trình:

\[
n + 3 = 4m^2n + 5m^2
\]

Sắp xếp lại:

\[
n - 4m^2n = 5m^2 - 3
\]

\[
n(1 - 4m^2) = 5m^2 - 3
\]

Tương tự, nếu \( 1 - 4m^2 \neq 0 \), ta có:

\[
n = \frac{5m^2 - 3}{1 - 4m^2}
\]

Làm tương tự như trên, phải yêu cầu \( 5m^2 - 3 \) và \( 1 - 4m^2 \) cùng dấu. Điều này sẽ cho ra điều kiện về \( m \) để tìm các giá trị hợp lệ của \( n \).

### Tóm tắt

Từ hai phần a) và b), để tìm các số tự nhiên \( n \), ta cần giải các phương trình này và áp dụng các điều kiện cần thiết cho \( k \) và \( m \). Cụ thể cần thực hiện thêm các bước tính toán chi tiết cho từng giá trị hợp lệ của \( n \).