Chúng ta sẽ giải từng phần yêu cầu trong bài toán.

### a) Tính \( AB \)

Trong tam giác vuông \( ABC \) tại điểm \( B \), với \( AC = 5 \, \text{cm} \) và góc \( BAC = 60^\circ \).

Sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông:

\[
\frac{AB}{AC} = \sin(60^\circ)
\]

Với \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[
\frac{AB}{5} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Suy ra:

\[
AB = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \, \text{cm}
\]

### b) Chứng minh \( AC \) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \( O \)

Đường tròn tâm \( O \) có đường kính là \( BH \) (đường cao từ \( B \) đến cạnh \( AC \)). Để chứng minh rằng \( AC \) là tiếp tuyến của đường tròn này, chúng ta chứng minh rằng khoảng cách từ điểm \( O \) đến đường thẳng \( AC \) bằng bán kính của đường tròn.

1. **Tính chiều dài \( BH \)**:

Trong tam giác vuông \( ABC \):
\[
BH = AC \cdot \sin(BAC) = 5 \cdot \sin(60^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \, \text{cm}
\]

2. **Tính vị trí của điểm \( O \)**:
- Do \( O \) là trung điểm của \( BH \), nên \( O \) sẽ có tọa độ là:
\[
O = \left( \frac{B_x + H_x}{2}, \frac{B_y + H_y}{2} \right)
\]
Trong đó \( B \) nằm tại \( (0, 0) \), \( H \) có tọa độ trên \( AC \).

3. **Xác định khoảng cách từ \( O \) đến \( AC \)**:
Đường thẳng \( AC \) có phương trình:
\[
y = \tan(60^\circ)x = \sqrt{3}x
\]
Khoảng cách từ điểm \( O(a, b) \) đến đường thẳng \( Ax + By + C = 0 \) là:
\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

Thay \( A = -\sqrt{3}, B = 1, C = 0 \):
\[
d = \frac{|-O_y \sqrt{3} + O_x|}{\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1}} = \frac{| - O_y\sqrt{3} + O_x |}{2}
\]
Trong đó \( d \) phải bằng bán kính \( r = \frac{BH}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{4} \).

Nếu điều này chính xác thì \( AC \) là tiếp tuyến.

Khi đó, \( d \) phải bằng \( \frac{5\sqrt{3}}{4} \).

### c) Tính khoảng cách từ \( O \) đến \( AB \)

Đường \( AB \) có góc \( 60^\circ \) với trục hoành, do đó phương trình của đường này là \( y = \sqrt{3}x \) (tương tự như đường \( AC \), nhưng chúng ta làm việc với khoảng cách đến từng đường).

Tương tự như trên khi xác định khoảng cách từ \( O \) đến \( AB \):

\[
d_{AB} = \frac{|O_y\sqrt{3} + O_x|}{\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1}} = \frac{|-O_x\sqrt{3} + O_y|}{2}
\]

Cuối cùng, bằng cách thay các giá trị vào, bạn có thể tính toán được khoảng cách một cách tỉ mỉ.

Hy vọng các bước trên sẽ giúp bạn giải bài toán đầy đủ và chính xác!