1) Với \(x \ge 0,\) ta có:

\(A = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}}\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}} \right) + \frac{9}{{\sqrt x  + 2}}\)

 \( = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}} \cdot \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{9}{{\sqrt x  + 2}}\)

 \( = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{9}{{\sqrt x  + 2}}\)\( = \frac{{3\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 2}}.\)

Vậy với \(x \ge 0\) thì \(A = \frac{{3\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 2}}.\)

2) Với \(x \ge 0,\) ta có: \(A = \frac{{3\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{3\left( {\sqrt x  + 2} \right) + 4}}{{\sqrt x  + 2}} = 3 + \frac{4}{{\sqrt x  + 2}}.\)

Vì \(x \in \mathbb{Z},\,\,x \ge 0\) nên \(\sqrt x \) là số tự nhiên hoặc là số vô tỉ.

Trường hợp 1. Xét \(x \in \mathbb{Z},\,\,x \ge 0\) nhưng \(\sqrt x \) là số vô tỉ.

  Khi đó \(\sqrt x  + 2\) là số vô tỉ nên \[\frac{4}{{\sqrt x  + 2}}\] là số vô tỉ.

  Do đó \(A = \frac{{3\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 2}} = 3 + \frac{4}{{\sqrt x  + 2}}\) cũng là số vô tỉ (loại).

Trường hợp 2. Xét \(x \in \mathbb{Z},\,\,x \ge 0\) và \(\sqrt x \) là số tự nhiên. 

  Khi đó \(A \in \mathbb{Z}\) khi \(\left( {\sqrt x  + 2} \right) \in \)Ư\[\left( 4 \right).\]

  Mà Ư\[\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\] và \(\sqrt x  + 2 \ge 2\) nên \[\left( {\sqrt x  + 2} \right) \in \left\{ {2;\,\,4} \right\}.\]

Ta có bảng sau:

Kết hợp điều kiện \(x \ge 0\) ta được \(x \in \left\{ {0;\,\,4} \right\}.\)

Vậy \(x \in \left\{ {0;4} \right\}\) thì \(A\) có giá trị nguyên.