Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Lời giải
a) Vì BK là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat {AKB} = 90^\circ \)
Suy ra tam giác AKI vuông tại K
Do đó K thuộc đường tròn đường kính AI
b) Gọi O là trung điểm của AI
Vì OA = OK nên tam giác OAK cân tại O
Suy ra \(\widehat {OAK} = \widehat {OK{\rm{A}}}\)
Vì tam giác BCK vuông ở K nên \(\widehat {KBC} + \widehat {KCB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Vì tam giác ACH vuông ở H nên \(\widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {HAC}\)
Mà \(\widehat {OAK} = \widehat {OK{\rm{A}}}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {OK{\rm{A}}}\) (1)
Vì tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao
Nên AH là đường trung tuyến
Hay H là trung điểm của BC
Xét tam giác BCK vuông ở K có KH là trung tuyến
Suy ra BH = HK
Do đó tam giác BHK cân tại H
Suy ra \(\widehat {BHK} = \widehat {BKH}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AKO} = \widehat {BKH}\)
Mà \(\widehat {AKO} + \widehat {OKB} = \widehat {AKB} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BKO} + \widehat {BKH} = 90^\circ \)
Hay \(\widehat {HOK} = 90^\circ \)
Xét (O) có OH ⊥ HK
Suy ra HK là tiếp tuyến của (O)
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |