Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H, K. Một tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các cạnh AB, AC ở M, N.
a) Cho \(\widehat B = \widehat C = \alpha \). Tính \(\widehat {MON}\).
b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.
c) Cho BC = 2a. Tính tích BM.CN.
d) Tiếp tuyến MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Lời giải
a) Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến HM và ME cắt nhau tại M.
Suy ra OM là tia phân giác của \(\widehat {HME}\).
Do đó \(\widehat {HMO} = \widehat {OME} = \frac{1}{2}\widehat {HME} = \beta \).
Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {ONK} = \widehat {ONE} = \frac{1}{2}\widehat {ENK} = \gamma \).
Tứ giác BMNC, có: \(\widehat {CBM} + \widehat {BMN} + \widehat {MNC} + \widehat {NCB} = 360^\circ \).
\( \Leftrightarrow \alpha + 2\beta + 2\gamma + \alpha = 360^\circ \).
\( \Leftrightarrow 2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 360^\circ \).
\( \Leftrightarrow \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \) (1)
∆MON, có: \(\widehat {MON} + \beta + \gamma = 180^\circ \) (2)
Từ (1), (2), ta được \(\widehat {MON} = \alpha \).
b) Xét ∆BOM và ∆ONM, có:
\(\widehat {MBO} = \widehat {MON} = \alpha \);
\(\widehat {BMO} = \widehat {OMN} = \beta \).
Do đó (g.g).
Chứng minh tương tự, ta được (g.g).
Vậy OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng là ∆BOM, ∆ONM và ∆CON.
c) Ta có O là trung điểm của BC và BC = 2a.
Suy ra \(BO = CO = \frac{2} = \frac{2} = a\).
Ta có (chứng minh trên).
Suy ra \(\frac = \frac\).
Do đó BM.CN = CO.BO = a.a = a2.
Vậy BM.CN = a2.
d) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được \(BM + CN \ge 2\sqrt {BM.CN} = 2\sqrt {{a^2}} = 2a\).
Ta thấy a là một số không đổi.
Dấu “=” xảy ra ⇔ BM = CN = a.
Vì vậy tổng BM + CN nhỏ nhất khi và chỉ khi BM = CN = a.
Ta có tỉ số \(\frac = \frac\).
Áp dụng định lí Thales đảo, ta được: MN // BC.
Vậy khi tiếp tuyến MN của (O) song song với đường thẳng BC thì tổng BM + CN nhỏ nhất.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |