a) Xét tam giác BAD có: M, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD

Suy ra MQ là đường trung bình của tam giác BAD

Do đó MQ // AD và \(MQ = \frac{1}{2}A{\rm{D}}\)                           (1)

Xét tam giác CAD có: N, P lần lượt là trung điểm của AC, CD

Suy ra NP là đường trung bình của tam giác CAD

Do đó NP // AD và \(NP = \frac{1}{2}A{\rm{D}}\)                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra MQ // NP ; MQ = NP

Xét tứ giác MNPQ có: MQ // NP ; MQ = NP (chứng minh trên)

Suy ra MNPQ là hình bình hành

b) Xét tam giác CAB có: N, M là trung điểm của AC, AB

Suy ra NM là đường trung bình của tam giác CAB

Do đó \(NM = \frac{1}{2}BC\)                    

Để MPNQ là hình thoi ⇔ MN = MQ

⇔ AD = BC (vì \(MQ = \frac{1}{2}A{\rm{D,}}MN = \frac{1}{2}BC\))

⇔ Hình thang ABCD là hình thang cân

Vậy hình thang ABCD cân thì MNPQ là hình bình hành.