Để chứng minh bất đẳng thức \( x^2y^2(x^2 + y^2) \leq 2 \) với điều kiện \( x + y \neq 2 \), ta sẽ áp dụng một số bất đẳng thức cơ bản như AM-GM (Bất đẳng thức trung bình - hình học) và tính chất của các số \( x \) và \( y \).

1. Gọi \( s = x + y \) và \( p = xy \). Theo định lý cơ bản về bất đẳng thức, ta có:

\[
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = s^2 - 2p.
\]

2. Bây giờ, ta cần khám phá biểu thức \( x^2y^2(x^2 + y^2) \):

\[
x^2y^2(x^2 + y^2) = p^2 (s^2 - 2p).
\]

3. Để tìm cực trị của \( p^2(s^2 - 2p) \), ta sẽ xét hàm \( f(p) = p^2(s^2 - 2p) \). Để tìm cực trị, ta tính đạo hàm:

\[
f'(p) = 2p(s^2 - 2p) - 2p^2 = 2p(s^2 - 4p) = 2ps^2 - 8p^2.
\]

4. Đặt \( f'(p) = 0 \):

\[
p(s^2 - 4p) = 0.
\]

Từ đó ta có \( p = 0 \) (trường hợp này không khả thi vì \( x, y \) không bằng 0), hoặc:

\[
s^2 - 4p = 0 \Rightarrow p = \frac{s^2}{4}.
\]

5. Theo bất đẳng thức AM-GM:

\[
\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy} \Rightarrow \frac{s}{2} \geq \sqrt{p} \Rightarrow p \leq \frac{s^2}{4}.
\]

6. Chúng ta biết rằng \( s \) không thể bằng 2 (vì điều kiện bài toán đã cho). Ta sẽ xét hai trường hợp:

- Nếu \( s < 2 \), thì \( p < 1 \), từ đó \( p^2 < 1 \).
- Nếu \( s > 2 \), thì \( p < \frac{s^2}{4} \) nhưng \( s^2 - 2p < 2 \).

Trong cả hai trường hợp, biểu thức \( p^2(s^2 - 2p) \) sẽ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 2.

7. Kết luận: Dựa vào phân tích trên, ta có thể kết luận rằng với điều kiện \( x + y \neq 2 \), bất đẳng thức \( x^2y^2(x^2 + y^2) \leq 2 \) luôn được thỏa mãn.

Vậy ta có thể khẳng định điều kiện: \( x^2y^2(x^2 + y^2) < 2 \).