Để phân tích đa thức \(-6x + 5\sqrt{x} + 1\) thành nhân tử, trước tiên ta có thể đặt \(\sqrt{x} = t\). Khi đó, \(x = t^2\) và đa thức trở thành:

\[
-6t^2 + 5t + 1
\]

Tiếp theo, ta tìm nghiệm của đa thức này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(at^2 + bt + c = 0\):

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, \(a = -6\), \(b = 5\), và \(c = 1\):

\[
b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-6)(1) = 25 + 24 = 49
\]

Nghiệm sẽ là:

\[
t = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2(-6)} = \frac{-5 \pm 7}{-12}
\]

Có 2 nghiệm:

1. \(t_1 = \frac{2}{-12} = -\frac{1}{6}\)
2. \(t_2 = \frac{-12}{-12} = 1\)

Vì \(\sqrt{x} = t\) không thể âm, nên ta chỉ giữ lại nghiệm \(t_2 = 1\).

Bây giờ ta sẽ phân tích thành nhân tử:

Đa thức \(-6t^2 + 5t + 1\) có thể viết lại dưới dạng:

\[
-6t^2 + 5t + 1 = -6(t^2 - \frac{5}{6}t - \frac{1}{6})
\]

Tiếp tục phân tích \(t^2 - \frac{5}{6}t - \frac{1}{6}\) sử dụng nhóm hạng:

\[
= -6(t - 1)(t + \frac{1}{6})
\]

Bây giờ thay \(t = \sqrt{x}\) vào ta có:

\[
= -6(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + \frac{1}{6})
\]

Cuối cùng, ta có kết quả phân tích đa thức thành nhân tử là:

\[
-6(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + \frac{1}{6})
\]

Đây là cách phân tích đa thức ban đầu thành nhân tử.