1) Với \(x > 9\) thì biểu thức P đã có nghĩa.

Ta có: \[P = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} + \frac} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right]\]

\[ = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x  - 1 - 2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right] = \left( {\frac{{8\sqrt x  + 4x}}} \right):\left( {\frac} \right)\]

\( = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right].\left( {\frac} \right) = \left( {\frac{{4\sqrt x }}} \right).\left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right] = \frac{{\sqrt x  - 3}}\)

Vậy \(P = \frac{{\sqrt x  - 3}}\)

Cách 2: Đặt \(a = \sqrt x \) \(a \ge 0\)

Ta có: \(P = \left( {\frac + \frac{{8{a^2}}}}} \right):\left( {\frac{{{a^2} - 2a}} - \frac{2}{a}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{{4a\left( {2 - a} \right)}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}} + \frac{{8{a^2}}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{a\left( {a - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {a - 2} \right)}}{{a\left( {a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{{4a\left( {2 - a} \right) + 8{a^2}}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}:\frac{{a\left( {a - 2} \right)}} = \frac{{4{a^2} + 8a}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}:\frac{{a\left( {a - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{4a\left( {a + 2} \right)}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}.\frac{{a\left( {a - 2} \right)}} = \frac{{4{a^2}}} = \frac{{\sqrt x  - 3}}\)

Nhận xét. Bài toán rút gọn biểu thức áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

2) Ta có: \(m\left( {\sqrt x  - 3} \right)P > x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x  - 3} \right).\frac{{\sqrt x  - 3}} > x + 1\)

\( \Leftrightarrow 4mx > x + 1 \Leftrightarrow \left( {4m - 1} \right)x > 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 1 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}\\x > \frac{1}\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Giải (*), do \(x > 9 \Leftrightarrow \frac{1} > 9 \Leftrightarrow \frac{1}{9} > 4m - 1 \Leftrightarrow \frac{5} > m\)

Như vậy \(\frac{1}{4} < m < \frac{5}\).

Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện của tham số để biến thỏa mãn một bất đẳng thức trước