Phương pháp:

1. Chứng minh đường thẳng MN song song với 1 đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right).\)

2. Hai mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song thì cắt nhau theo giao tuyến (nếu có) song song với 2 đường thẳng đó.

3. Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SAC: \(\frac.\frac.\frac = 1.\)

Cách giải:

a. Xét tam giác SAB có MN là đường trung bình \( \Rightarrow MN//AB\) (Tính chất đường trung bình).

Lại có \(AB//CD\) (ABCD là hình bình hành) nên \(MN//CD,\) \(CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow MN//\left( {SCD} \right).\)

b. Ta có \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) có điểm P chung.

\(MN \subset \left( {MNP} \right);AB \subset \left( {ABCD} \right);MN//AB \Rightarrow \) Giao tuyến của 2 mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là đường thẳng qua P và song song với MN, AB.

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(EF//AB\left( {E \in AD;F \in BC} \right),\) khi đó ta có \(\left( {MNP} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = EF.\)

c. Gọi \(O = AC \cap BD.\) Do P là trọng tâm tam giác BCD

\( \Rightarrow \frac = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{\frac{1}{2}AC}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac = \frac{1}{2}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SAC: \(\frac.\frac.\frac = 1 \Rightarrow 1.2.\frac = 1 \Leftrightarrow \frac = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac = \frac{1}{2}.\)