Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a: Tính giá trị biểu thức \( A \) tại \( x = 4 \)

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \frac{\sqrt{x-1}}{2}
\]

Thay \( x = 4 \) vào biểu thức:
\[
A = \frac{\sqrt{4-1}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

### Phần b: Rút gọn biểu thức \( B \)

Biểu thức \( B \) là:
\[
B = \frac{x+2 - \sqrt{x}}{x\sqrt{x-1} + x + 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}}
\]

Để rút gọn, ta thay \( x = 4 \):
- Tính các phần:
- \( x + 2 = 4 + 2 = 6 \)
- \( \sqrt{x} = \sqrt{4} = 2 \)
- \( \sqrt{x - 1} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \)
- Thay vào biểu thức \( B \):
\[
B = \frac{6 - 2}{4\sqrt{3} + 5 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{4\sqrt{3} + 5 - 0.5} = \frac{4}{4\sqrt{3} + 4.5}
\]

Tiến hành rút gọn hơn nữa:
\[
B = \frac{4}{4\sqrt{3} + 4.5}
\]

### Phần c: Tính giá trị \( P = A \cdot B \)

Giờ ta tính giá trị của \( P \):
\[
P = A \cdot B = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{4\sqrt{3} + 4.5} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3} + 4.5}
\]

### Phần d: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta cần đạo hàm và giải bài toán tối ưu.
Thay biểu thức vào và tìm giá trị nhỏ nhất có thể bằng cách tính đạo hàm hoặc sử dụng các phương pháp khác.

Khi biểu thức đã rút gọn, tiến hành tìm giá trị tối thiểu bằng cách tính bảng hoặc sử dụng công cụ tối ưu phù hợp.

Kết luận: Giá trị của \( P \) phụ thuộc vào các giá trị cụ thể của \( x \), và có thể có giá trị nhỏ nhất đạt được khi \( x \) tùy ý. Các bước cần thực hiện đầy đủ và có thể sử dụng phần mềm hoặc máy tính để tìm giá trị chính xác.