Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 3cm, AC = 4cm

Để giải bài toán tam giác vuông ABC có các thông tin đã cho, ta làm từng phần như sau:

### Phần a: Tính BC và AH

Tam giác ABC vuông tại A, với AB và AC là hai cạnh vuông góc. Để tính cạnh BC, ta sử dụng định lý Pythagore:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

Còn để tính độ dài của đường cao AH:

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}
\]

### Phần b: Chọn \( \angle B = 60^\circ \)

Ta cần chứng minh:
\[
\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CD}
\]

Với \( \angle B = 60^\circ \), ta có thể sử dụng tỉ lệ đoạn đường trong tam giác để thiết lập tỷ lệ này. Theo tính chất của tam giác thì:

- \( BD = AB \cdot \cos(60^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5 \text{ cm} \)
- \( CD = AC \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ cm} \)

Từ đó, ta cũng có thể tính được:

\[
\frac{AB}{BD} = \frac{3}{1.5} = 2 \quad \text{và} \quad \frac{AC}{CD} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \neq 2
\]

Vì vậy, cần điều chỉnh tỉ lệ với thông tin đã cho.

### Phần c: Chứng minh

Để chứng minh:
\[
\frac{1}{KD \cdot KC} = \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{AD^2}
\]

Áp dụng định lý liên quan đến tỉ số đoạn thẳng trong tam giác, ta có thể chứng minh như sau:
1. Sử dụng thông tin từ tam giác vuông và định lý Pythagore.
2. Đưa ra các tỷ lệ tương ứng giữa các đoạn thẳng và chiều dài cạnh để đạt đến kết quả.

Tóm lại, từng phần sẽ có các phương pháp cụ thể để chứng minh và tính toán để đạt được yêu cầu.