Để chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành, ta sẽ làm theo các bước sau:

### Bước a: Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành

1. **Chứng minh BH // CK**:
- Ta có \( BE \) và \( CF \) là các đường cao, nên \( BE \perp AC \) và \( CF \perp AB \).
- Bởi \( AB < AC \) và tam giác \( ABC \) có 3 góc nhọn, ta có \( H \) là điểm chung của các đường cao, nên \( \angle AHB = \angle AHC \) (cùng chắn một cung).
- Từ đây, suy ra \( BH // CK \).

2. **Chứng minh BH = CK**:
- Ta có \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( HM = MK \) (theo đề bài).
- Xét tam giác \( BHK \) và \( CHK \):
- \( BH = HK \) (do \( K \) được lấy đối xứng với \( H \)).
- \( HM = MK \), do đó, \( BK = CK \).
- Vậy \( BH = CK \).

Như vậy, ta đã chứng minh được hai điều kiện của hình bình hành: \( BH // CK \) và \( BH = CK \). Do đó, tứ giác \( BHCK \) là hình bình hành.

### Bước b: Chứng minh \( BK \perp AB \) và \( CK \perp AC \)

1. **Chứng minh \( BK \perp AB \)**:
- Ta biết rằng \( BE \perp AC \) và tứ giác \( BHCK \) là hình bình hành, do đó góc tại \( B \) và góc tại \( K \) sẽ bằng nhau, dẫn đến \( BK \perp AB \).

2. **Chứng minh \( CK \perp AC \)**:
- Tương tự như trên, \( CF \perp AB \) và góc tại \( C \) và góc tại \( K \) sẽ bằng nhau, do đó \( CK \perp AC \).

### Bước c: Gọi \( I \) là điểm đối xứng với \( H \) qua \( BC \)

- Qua việc này, ta sẽ chứng minh rằng tứ giác \( BIKC \) là hình thang cân. Ta chú ý rằng:
- \( BI \parallel CK \) và \( BK \parallel IC \).

### Bước d: \( BK \) cắt \( HI \) tại \( G \)

- Để tứ giác \( GHCK \) là hình thang cân, ta cần thêm điều kiện \( HG = CK \) hoặc \( GH = CK \).

Hy vọng các bước trên giúp bạn hoàn thiện chứng minh bài toán.