Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

### a) Tính diện tích tứ giác ABCH

1. **Tính diện tích hình chữ nhật ABCD**:
- Diện tích \(S_{ABCD} = AB \times AD = 8 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 48 \, \text{cm}^2\).

2. **Tìm tọa độ các điểm**:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(8, 0)\)
- \(C(8, 6)\)
- \(D(0, 6)\)

3. **Tọa độ điểm H** chỉ ra rằng H nằm trên AD, vì vậy H sẽ có tọa độ \(H(0, h)\).

4. **Tọa độ điểm M và N**:
- M là trung điểm của DH: \(M\left(0, \frac{0 + h}{2}\right) = M\left(0, \frac{h}{2}\right)\)
- N là trung điểm của BC: \(N\left(\frac{8 + 8}{2}, \frac{0 + 6}{2}\right) = N(8, 3)\)

5. **Diện tích tứ giác ABCH**:
- Ta sử dụng công thức diện tích tứ giác qua các tọa độ:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|
\]
- Với \( A(0, 0), B(8, 0), C(8, 6), H(0, h) \):
\[
S = \frac{1}{2} \left| 0\cdot0 + 8\cdot6 + 8\cdot h + 0\cdot0 - (0\cdot8 + 0\cdot8 + 6\cdot0 + h\cdot0) \right|
= \frac{1}{2} \left| 0 + 48 + 8h - 0 \right| = \frac{1}{2} (48 + 8h)
\]

6. **Kết quả**:
- Diện tích tứ giác \(ABCH\) là \(24 + 4h \, \text{cm}^2\).

### b) Chứng minh \( AM \perp MN \)

1. **Tính vectơ AM và MN**:
- **Vectơ AM**:
\[
\overrightarrow{AM} = M - A = \left(0, \frac{h}{2}\right) - (0, 0) = \left(0, \frac{h}{2}\right)
\]

- **Vectơ MN**:
\[
\overrightarrow{MN} = N - M = (8, 3) - \left(0, \frac{h}{2}\right) = \left(8, 3 - \frac{h}{2}\right)
\]

2. **Tính tích vô hướng**:
- \( AM \perp MN \) nếu \( \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{MN} = 0 \).

\[
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{MN} = 0 \cdot 8 + \frac{h}{2} (3 - \frac{h}{2}) = 0
\]

- Điều này cho thấy phương trình \( \frac{h}{2} (3 - \frac{h}{2}) = 0 \) có hai khả năng:
- \( h = 0 \) (không hợp lý trong trường hợp này),
- hoặc \( 3 - \frac{h}{2} = 0 \) dẫn đến \( h = 6 \).

### Kết luận

- Diện tích tứ giác \( ABCH \) là \( 24 + 4h \, \text{cm}^2 \).
- Đã chứng minh được rằng \( AM \perp MN \).