Gọi H là trung điểm của AO.

Tam giác SOA cân tại S có SH là đường trung tuyến.

Suy ra SH cũng là đường cao của tam giác SOA.

Do đó SH ⊥ OA.

Mà AO = (SAO) ∩ (ABCD).

Vì vậy SH ⊥ (ABCD).

Tam giác ABC vuông tại B: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}}  = 2a\).

Suy ra \(CO = AO = \frac{2} = a\).

Khi đó \(OH = \frac{2} = \frac{a}{2}\).

Vì vậy \(CH = CO + OH = \frac{2}\).

Ta có H, C lần lượt là hình chiếu của S, C lên mặt phẳng (ABCD).

Suy ra HC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Do đó góc giữa SC và đáy là \(\left( {HC,SC} \right) = \widehat {SCH} = 60^\circ \).

Tam giác SCH vuông tại H: \(SH = CH.\tan \widehat {SCH} = \frac{2}.\tan 60^\circ = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: \(V = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2}.a.a\sqrt 3 = \frac{{3{a^3}}}{2}\).