a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và y = 2x – 3 là: \[\frac{1}{4}{x^2} = 2x - 3\].

⇔ x² – 8x + 12 = 0.

⇔ x = 6 hoặc x = 2.

Với x = 6, ta có: y = 2.6 – 3 = 9.

Suy ra tọa độ A(6; 9).

Với x = 2, ta có: y = 2.2 – 3 = 1.

Suy ra tọa độ B(2; 1).

Vậy A(6; 9) và B(2; 1).

b)

Ta có BC = 6 – 2 = 4, AC = 9 – 1 = 8.

Tam giác ABC vuông tại C: AB² = AC² + BC² = 8² + 4² = 80.

Suy ra \(AB = 4\sqrt 5 \).

c) Ta có OE = 2, BE = 1, AD = 9, OD = 6, DE = BC = 4.

Lại có:

⦁ \({S_{\Delta OAD}} = \frac{1}{2}OD.AD = \frac{1}{2}.6.9 = 27\);

⦁ \({S_{\Delta OBE}} = \frac{1}{2}OE.BE = \frac{1}{2}.2.1 = 1\);

⦁ \({S_{BEDA}} = \frac{{DE.\left( {BE + AD} \right)}}{2} = \frac{{4.\left( {1 + 9} \right)}}{2} = 20\).

Khi đó ta có S_OAB = S_OAD – S_OBE – S_BEDA = 27 – 1 – 20 = 6.

Vậy S_OAB = 6 (đvS).

d) Do M ∈ (P) nên tọa độ M có dạng \(M\left( {m;\frac{{{m^2}}}{4}} \right)\).

Suy ra \(IM = \sqrt {{m^2} + {{\left( {\frac{{{m^2}}}{4} - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{{m^2}}}{4} - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{4}} \ge \frac{{\sqrt {35} }}{2}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{{m^2}}}{4} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 \).

Với \(m = \sqrt 2 \), ta có tọa độ \(M\left( {\sqrt 2 ;\frac{1}{2}} \right)\).

Với \(m = - \sqrt 2 \), ta có tọa độ \(M\left( { - \sqrt 2 ;\frac{1}{2}} \right)\).

Vậy \(M\left( {\sqrt 2 ;\frac{1}{2}} \right)\) và \(M\left( { - \sqrt 2 ;\frac{1}{2}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.