Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của OO’. Đường thẳng qua A cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở C và D. a) Khi CD ⊥ MA, chứng minh AC = AD. b) Khi CD đi qua A và không vuông góc với MA. i) Vẽ đường kính AE của (O), AE cắt (O’) ở H. Vẽ đường kính AF của (O’), AF cắt (O) ở G. Chứng minh AB, EG, FH đồng quy. ii) Tìm vị trí của CD để đoạn CD có độ dài lớn nhất.

Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của OO’. Đường thẳng qua A cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở C và D.

a) Khi CD ⊥ MA, chứng minh AC = AD.

b) Khi CD đi qua A và không vuông góc với MA.

i) Vẽ đường kính AE của (O), AE cắt (O’) ở H. Vẽ đường kính AF của (O’), AF cắt (O) ở G. Chứng minh AB, EG, FH đồng quy.

ii) Tìm vị trí của CD để đoạn CD có độ dài lớn nhất.

1 trả lời
Hỏi chi tiết
17
0
0
Đặng Bảo Trâm
13/09 22:47:32

a)

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC, AD.

Suy ra OE ⊥ AC và AE = CE; O’F ⊥ AD và AF = DF.

Mà MA ⊥ CD (giả thiết).

Do đó OE // MA // O’F.

Khi đó tứ giác OO’FE là hình thang.

Hình thang OO’FE có MA // OE // O’F và M là trung điểm của OO’.

Suy ra MA là đường trung bình của hình thang OO’FE.

Do đó AE = AF.

Vì vậy 2AE = 2AF.

Vậy AC = AD (điều phải chứng minh).

b)

i) Gọi I là giao điểm của EG và FH.

Đường tròn (O) có AE là đường kính.

Suy ra AG ⊥ GE và AB ⊥ BE.

Đường tròn (O’) có AF là đường kính.

Suy ra AH ⊥ FH và AB ⊥ BF.

Ta có AB ⊥ BE (chứng minh trên) và AB ⊥ BF (chứng minh trên).

Suy ra ba điểm E, B, F thẳng hàng.

Do đó AB ⊥ EF.

Tam giác IEF có hai đường cao EH và FG cắt nhau tại A.

Suy ra A là trực tâm của tam giác IEF.

Mà AB ⊥ EF (chứng minh trên).

Do đó ba điểm I, A, B thẳng hàng.

Vậy AB, EG, FH đồng quy tại I.

ii) Kẻ OP ⊥ CD và O’Q ⊥ CD.

Suy ra P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AD và OP // O’Q.

Khi đó AC = 2AP và AD = 2AQ.

Suy ra AC + AD = 2AP + 2AQ.

Vì vậy CD = 2PQ.

Do đó CD lớn nhất khi và chỉ khi PQ lớn nhất.

Ta có tứ giác OO’QP là hình thang vuông tại P, Q (vì OP // O’Q và OP ⊥ PQ).

Suy ra PQ ≤ OO’.

Dấu “=” xảy ra ⇔ OO’QP là hình chữ nhật.

⇔ PQ // OO’.

⇔ CD // OO’.

Vậy CD // OO’ thì CD có độ dài lớn nhất.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư