Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của OO’. Đường thẳng qua A cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở C và D.
a) Khi CD ⊥ MA, chứng minh AC = AD.
b) Khi CD đi qua A và không vuông góc với MA.
i) Vẽ đường kính AE của (O), AE cắt (O’) ở H. Vẽ đường kính AF của (O’), AF cắt (O) ở G. Chứng minh AB, EG, FH đồng quy.
ii) Tìm vị trí của CD để đoạn CD có độ dài lớn nhất.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
a)
Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC, AD.
Suy ra OE ⊥ AC và AE = CE; O’F ⊥ AD và AF = DF.
Mà MA ⊥ CD (giả thiết).
Do đó OE // MA // O’F.
Khi đó tứ giác OO’FE là hình thang.
Hình thang OO’FE có MA // OE // O’F và M là trung điểm của OO’.
Suy ra MA là đường trung bình của hình thang OO’FE.
Do đó AE = AF.
Vì vậy 2AE = 2AF.
Vậy AC = AD (điều phải chứng minh).
b)
i) Gọi I là giao điểm của EG và FH.
Đường tròn (O) có AE là đường kính.
Suy ra AG ⊥ GE và AB ⊥ BE.
Đường tròn (O’) có AF là đường kính.
Suy ra AH ⊥ FH và AB ⊥ BF.
Ta có AB ⊥ BE (chứng minh trên) và AB ⊥ BF (chứng minh trên).
Suy ra ba điểm E, B, F thẳng hàng.
Do đó AB ⊥ EF.
Tam giác IEF có hai đường cao EH và FG cắt nhau tại A.
Suy ra A là trực tâm của tam giác IEF.
Mà AB ⊥ EF (chứng minh trên).
Do đó ba điểm I, A, B thẳng hàng.
Vậy AB, EG, FH đồng quy tại I.
ii) Kẻ OP ⊥ CD và O’Q ⊥ CD.
Suy ra P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AD và OP // O’Q.
Khi đó AC = 2AP và AD = 2AQ.
Suy ra AC + AD = 2AP + 2AQ.
Vì vậy CD = 2PQ.
Do đó CD lớn nhất khi và chỉ khi PQ lớn nhất.
Ta có tứ giác OO’QP là hình thang vuông tại P, Q (vì OP // O’Q và OP ⊥ PQ).
Suy ra PQ ≤ OO’.
Dấu “=” xảy ra ⇔ OO’QP là hình chữ nhật.
⇔ PQ // OO’.
⇔ CD // OO’.
Vậy CD // OO’ thì CD có độ dài lớn nhất.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |