Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt A₁B₁ và B₁C₁ lần lượt tại K­₁ và M₁.

Theo giả thiết: MK // AC

Mà M₁K₁ // AC (theo cách vẽ)

Suy ra: MK // M₁K₁.

Xét tam giác B₁K­₁M₁ có MK // M₁K₁ 

Suy ra: \[\frac{{B{M_1}}} = \frac{{B{K_1}}}\] (*)

Xét tam giác AB₁C₁ và tam giác BM₁C₁ có:

\(\widehat {A{C_1}{B_1}} = \widehat {B{C_1}{M_1}}\) (2 góc đối đỉnh)

\(\widehat {A{B_1}{C_1}} = \widehat {B{M_1}{C_1}}\) (2 góc so le trong vì AC // M₁K₁)

Suy ra: ∆AB₁C₁ ᔕ ∆BM₁C₁ (g.g)

Nên \(\frac{{B{M_1}}}{{A{B_1}}} = \frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}} \Rightarrow B{M_1} = A{B_1}.\frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}}\;\left( 1 \right)\)

Tương tự: ∆CB₁A₁ ᔕ ∆BK₁A₁ (g.g)

Nên \(\frac{{B{K_1}}}{{C{B_1}}} = \frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}} \Rightarrow B{K_1} = C{B_1}.\frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}}\;\left( 2 \right)\)

Lấy (1) chia (2) ta được:

\(\frac{{B{M_1}}}{{B{K_1}}} = \frac{{A{B_1}}}{{B{C_1}}}\,.\,\frac{{C{A_1}}}{{B{A_1}}}\,.\,\frac{{C{B_1}}}{{A{C_1}}} = 1\)(áp dụng định lí Xê–va)

Suy ra: BM₁ = BK₁ (**)

Từ (*) và (**), ta có: OM = OK

Vậy OM = OK.