Lời giải

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {BAC} + \widehat {PAN} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Do đó, \(\widehat {PAN} = 90^\circ \).

Vì MN vuông góc với BC, AH vuông góc với BC nên MN song song với AH hay MP song song với AH.

Do đó, \(\widehat P = \widehat {HAB}\) (hai góc đồng vị).

Tam giác ANP vuông tại A và tam giác HBA vuông tại H có:

\(\widehat P = \widehat {HAB}\) (cmt)

Do đó, ∆ANP ᔕ ∆HBA (hai góc nhọn bằng nhau).

Tam giác MCN vuông tại M và tam giác MPB vuông tại M có:

\(\widehat C = \widehat P\) (cùng phụ với góc B).

Do đó, ∆MCN ᔕ ∆MPB (hai góc nhọn bằng nhau).

b)

Ta có: \(\frac \cdot \frac \cdot \frac = \frac \cdot \frac \cdot \frac\).

Tam giác PMB có: PM song song với AH nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac = \frac\) hay \(\frac = \frac\).

Tam giác AHC có: MN song song với AH nên theo định lí Thales ta có:

\(\frac = \frac\).

Do đó, \(\frac \cdot \frac \cdot \frac = \frac \cdot \frac \cdot \frac\)\( = \frac \cdot \frac \cdot \frac = 1\).