Lời giải

a) Xét tam giác ABC có:

\(\frac = \frac\,\,\,\,\left( { = \frac{1}{3}} \right)\)

Nên MN // AC (định lí Thalès đảo).

Vì \(\frac = \frac{1}{3}\) nên MA = 3MB.

Tam giác ABC có MN // AC nên \[\frac = \frac = \frac = \frac = \frac{1}{4}\].

Suy ra MN = \(\frac{1}{4}\)AC.

b) Tam giác MNK có MN // AC nên \(\frac = \frac = \frac = \frac{1}{4}\).

c) Nếu MN // AC thì \(\frac = \frac\) (định lí Thalès) (1).

Vì CM là tia phân giác của góc BCA trong tam giác ABC nên \(\frac = \frac\) (2).

Vì AN là tia phân giác của góc BAC trong tam giác ABC nên \(\frac = \frac\) (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\frac = \frac\) nên AB = BC.

Do đó, tam giác ABC cân tại B.

Ngược lại, nếu tam giác ABC cân tại B, CM là phân giác của góc C, AN là phân giác góc A thì dễ thấy MN // AC.

Vậy để MN // AC thì điều kiện là tam giác ABC cân tại B.