Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông AMH và AHB có: \[\widehat A\] chung

Suy ra ΔAMH ᔕ ΔAHB (g.g)

b) ΔAMH ᔕ ΔAHB nên \[\frac = \frac\;\] hay AM.AB = AH² (1)

Xét hai tam giác vuông ANH và AHC có: \[\widehat A\] chung

Suy ra ΔANH ᔕ ΔAHC (g.g) nên \[\frac = \frac\;\] hay AN.AC = AH² (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM.AB = AN.AC (đpcm).

c) Ta có AM.AB = AN.AC, do đó \[\frac = \frac\].

Xét hai tam giác vuông AMN và ABC có:

\[\frac = \frac\] (chứng minh trên)

Do đó ΔANM ᔕ ΔABC (c.g.c)

d) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có: 

BC² = AB² + AC² = 9² + 12² = 225.

Suy ra BC = 15 cm.

Xét hai tam giác vuông ABC và HBA có \(\widehat B\) chung

Do đó ΔABC ᔕ ΔHBA (g.g).

Suy ra \[\frac = \frac\] (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó AH.BC = AB.AC hay AH.15 = 9.12.

Suy ra AH = 7,2 cm.

• Từ (1): AM.AB = AH² nên \[AM = \frac{{A{H^2}}} = \frac{{7,{2^2}}}{9} = 5,76\,\,(cm)\]

• Từ (2): AN.AC = AH² nên \[AN = \frac{{A{H^2}}} = \frac{{7,{2^2}}} = 4,32\,\,(cm)\]

Diện tích tam giác AMN là: 

\[\frac{1}{2}\,.\,5,76\,.\,4,32 = 12,4416\,\,(c{m^2})\].

Vậy diện tích tam giác AMN là 12,4416 cm².