1)  

Xét tứ giác ACMD có: ∠DMA=∠DCA=90°, ∠BMA=∠DCAcùng chắn AD⏜

⇒ACMDlà tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BCKMcó ∠BKM+∠BCK=90°+90°=180°

⇒BCKM là tứ giác nội tiếp

2, ΔABMXét có ∠A1+∠B1+∠AMD=180°⇒∠A1+∠B1=90°1

Xét ΔAKCcó: ∠K1+∠A1+∠KCA=180°⇒∠K1+∠A1=90°2

Từ 1,2⇒∠B1=∠K1 và ∠KCA=∠BCD=90°

⇒ΔCKA∽ΔCBD(g.g)⇒CKCB=CACD⇒CK.CB=CA.CB

4) Lấy Eđối xứng với B qua C thì E cố định và ∠EDC=∠BDC

Lại có ∠BDC=∠CAK(cùng phụ với ∠B)⇔∠EDC=∠CAK

Do đó AKDElà tứ giác nội tiếp

Gọi O'là tâm đường tròn ngoai tiếp ΔAKD thì O' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp AKDE⇒O'A=O'E⇒O'∈trung trực của AE cố định