a) Do phép quay là phép dời hình nên ảnh A2B2C2D2 của hình vuông A1B1C1D1 cũng là hình vuông có kích thước bằng hình vuông A1B1C1D1.

Theo đề, ta có A1B1C1D1 là ảnh của hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo OO'→.

Mà O là tâm của hình vuông ABCD.

Nên ta có O’ là tâm của hình vuông A1B1C1D1.

Mà A2B2C2D2 là ảnh của hình vuông A1B1C1D1 qua Q(O’, φ) (giả thiết).

Suy ra O’ cũng là tâm của hình vuông A2B2C2D2.

Do đó O’A2 = O’B2 = O’C2 = O’D2.

Để tìm ảnh A2B2C2D2 của hình vuông A1B1C1D1 qua Q(O’, φ), ta tìm vị trí các điểm A2, B2, C2, D2 theo thứ tự là ảnh của các điểm A1, B1, C1, D1 qua Q(O’, φ).

Ta có A2 = Q(O’, φ)(A1).

Suy ra O’A2 = O’A1 và (O’A1, O’A2) = φ.

Mà φ = (O’A1, O’A’) (giả thiết).

Do đó A2 nằm trên đường thẳng O’A’.

Vì vậy A2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’A’ thỏa mãn O’A2 = O’A1.

Ta có B2 = Q(O’, φ)(B1).

Suy ra O’B2 = O’B1 và (O’B1, O’B2) = φ.

Ta có O’ là tâm của hình vuông A2B2C2D2 và hình vuông A’B’C’D’.

Khi đó A1O'B2^=90°−A2O'A1^ và A1O'B'^=90°−A'O'A1^.

Suy ra A1O'B2^=A1O'B'^.

Do đó B2 nằm trên đường thẳng O’B’.

Vì vậy B2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’B’ thỏa mãn O’B2 = O’B1.

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ C2 nằm trên đường thẳng O’C’ thỏa mãn O’C2 = O’C1;

⦁ D2 nằm trên đường thẳng O’D’ thỏa mãn O’D2 = O’D1.

Vậy ảnh của hình vuông A1B1C1D1 qua Q(O’, φ) là hình vuông A2B2C2D2 thỏa mãn A2, B2, C2, D2 lần lượt nằm trên O’A’, O’B’, O’C’, O’D’ và O’B2 = O’C2 = O’D2 = O’A2 = O’A1.

b) Để tìm ảnh của hình vuông A2B2C2D2 qua V(O’, k), ta tìm ảnh của các điểm A2, B2, C2, D2 qua V(O’, k).

Theo đề, ta có O'A'→=kO'A2→.

Suy ra V(O’, k)(A2) = A’ và O’A’ = |k|.O’A2.

Ta có O’A2 = O’B2 (chứng minh trên) và O’A’ = O’B’ (O’ là tâm của hình vuông A’B’C’D’).

Suy ra O'B2O'B'=O'A2O'A'=1k.

Do đó O’B’ = |k|.O’B2.

Mà O'B'→,  O'B2→ cùng phương (B2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’B’).

Suy ra O'B'→=kO'B2→.

Do đó V(O’, k)(B2) = B’.

Chứng minh tương tự, ta được V(O’, k)(C2) = C’ và V(O’, k)(D2) = D’.

Vậy ảnh của hình vuông A2B2C2D2 qua V(O’, k) là hình vuông A’B’C’D’.

c) Từ kết quả của câu a) và b), ta thấy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O’, góc quay φ = (O’A1, O’A’) và phép vị tự tâm O, tỉ số k biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’.

Do đó hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng với nhau.

Vậy hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau.