Ta có \(\sqrt 2 \)cos x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Do đó, số nghiệm của phương trình \(\sqrt 2 \)cos x + 1 = 0 trên đoạn (– 4π; 0) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn (– 4π; 0) và đường thẳng \(y = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn (– 4π; 0) và đường thẳng \(y = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình \(\sqrt 2 \)cos x + 1 = 0 có 4 nghiệm trên khoảng (– 4π; 0).