Để chứng minh hai phần của bài toán:

### a) Chứng minh: \( \triangle AIB = \triangle AIC \)

1. **Giả thiết**:
- \( \triangle ABC \) là tam giác cân tại \( A \) với \( AB = AC \).
- \( I \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Các cạnh tương ứng**:
- \( AI \) là chung (cạnh chung).
- \( AB = AC \) do tam giác cân.
- \( IB \) và \( IC \) đều là nửa cạnh \( BC \) do \( I \) là trung điểm của \( BC \).

3. **Góc**:
- Góc \( AIB \) và góc \( AIC \) đều bằng \( 90^\circ \) vì \( IH \perp AB \) và \( IK \perp AC \), tạo thành góc vuông.

4. **Kết luận**:
- Theo tiêu chuẩn để hai tam giác bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh — C-C-C), ta có:
\[
\triangle AIB \cong \triangle AIC
\]

### b) Chứng minh: \( \triangle AIH = \triangle AIK \) và so sánh \( IB \) với \( IK \)

1. **Giả thiết**:
- \( I \) là trung điểm của \( BC \).
- \( IH \perp AB \) và \( IK \perp AC \).

2. **Cạnh**:
- \( AI \) là chung (cạnh chung).
- \( IH \) và \( IK \) đều vuông góc với \( AB \) và \( AC \) tương ứng.

3. **Góc**:
- Góc \( AIH = AIK = 90^\circ \) (góc vuông).

4. **Kết luận**:
- Do \( AI \) là chung, \( IH = IK \) (cùng độ dài) và cả hai đều tạo thành góc vuông tại \( A \).
- Suy ra \( \triangle AIH \cong \triangle AIK \) (góc-cạnh-góc — G-C-G).

Cuối cùng, ta có thể so sánh \( IB \) và \( IK \) bằng cách áp dụng Định lý Pythagore nếu cần.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong cả hai phần a) và b) của bài toán.