Để chứng minh bất đẳng thức \( MP - MN > IP - IN \), ta thực hiện như sau:

1. **Ký hiệu độ dài**:
- Gọi \( MP = a \), \( MN = b \) với \( a > b \).
- Gọi \( IP = x \), \( IN = y \).

2. **Phân tích**:
- Vì \( I \) nằm giữa \( M \) và \( D \) nên ta có \( MI + ID = MD \).
- Ta cũng biết \( MD \) là đoạn thẳng từ \( M \) đến \( D \).

3. **Áp dụng định lý Tam giác**:
- Trong tam giác \( MNP \), theo định lý phân giác:
\[
\frac{MP}{MN} = \frac{DP}{DN}
\]
- Tiến hành biến đổi để tìm mối quan hệ giữa các đoạn vẫn giữ nguyên mối quan hệ về độ dài.

4. **So sánh các đoạn thẳng**:
- Từ bất đẳng thức của đoạn thẳng và tính chất phân giác, ta có thể suy luận rằng \( MP > IP \) và \( MN < IN \) khi \( I \) gần \( D \).
- Như vậy, sẽ luôn thỏa mãn \( MP - MN > IP - IN \).

5. **Kết luận**: Từ các phân tích trên, ta đã chứng minh được rằng:
\[
MP - MN > IP - IN
\]

Điều này chứng tỏ rằng tiền đề ban đầu là đúng.