a) ⦁ Gọi J là trung điểm của IC.

Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AC tại E nên IE ⊥ AC tại E. Do đó IEC^=90° nên điểm E thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Vì CK ⊥ BI tại K nên BKC^=90° hay IKC^=90° nên điểm K thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Do đó bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Như vậy, tứ giác IEKC nội tiếp đường tròn.

Suy ra KEC^=KIC^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC). (3)

⦁ Vì đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI, CI là các đường phân giác của tam giác ABC.

Gọi P là giao điểm của AI và EF.

Do AI là tia phân giác của góc BAC nên PAE^=12BAC^.

Do BI là tia phân giác của góc ABC nên IBC^=12ABC^.

Do CI là tia phân giác của góc ACB nên ICB^=12ACB^.

Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E hay AE, AF là hai tiếp tuyến của đường tròn (I), do đó IE = IF và AE = AF.

Suy ra AI là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên AI ⊥ EF tại P.

Xét ∆APE có APE^+PAE^+AEP^=180°

Suy ra AEP^=180°-APE^-PAE^=180°-90°-12BAC^=90°-12BAC^.

Do đó AEF^=90°-12BAC^. (1)

Xét ∆IBC có  là góc ngoài của tam giác tại đỉnh I nên

KIC^=IBC^+ICB^=12ABC^+12ACB^=ABC^+ACB^2=180°-BAC^2=90°-12BAC^. (2)

Từ (1) và (2), suy ra AEF^=KIC^. (4)

Từ (3) và (4), suy ra AEF^=KEC^.

Mà AEF^+CEF^=180° (hai góc kề bù) nên KEC^+CEF^=180° hay KEF^=180°.

Vậy ba điểm F, E, K thẳng hàng.

b) Xét ∆KBC vuông tại K có KM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên KM=12BC.

Mà M là trung điểm của BC nên MB=MC=12BC.

Do đó MB = MK nên ∆MKB cân ở M, suy ra MBK^=MKB^.

Xét ∆MKB có KMC^ là góc ngoài tại đỉnh M nên KMC^=MBK^+MKB^=2MBK^=2·ABC^2=ABC^.

Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC, suy ra MN // AB, do đó NMC^=ABC^ (hai góc đồng vị).

Suy ra KMC^=NMC^ vì vậy ba điểm K, N, M thẳng hàng.